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本書旨在為數(shù)獨(dú)愛好者和學(xué)習(xí)者提供數(shù)獨(dú)游戲的規(guī)則和適用性高的解題技巧與解題思路，以幫助讀者了解數(shù)獨(dú)游戲，享受解題樂趣。本書介紹了數(shù)獨(dú)游戲的定義和規(guī)則，逐條說(shuō)明求解數(shù)獨(dú)問題的運(yùn)算規(guī)則及其符號(hào)，并輔以應(yīng)用實(shí)例。本書還依次歸納了數(shù)條普遍適用的運(yùn)算規(guī)則和一定數(shù)量的數(shù)獨(dú)題目，幫助讀者較快適應(yīng)數(shù)獨(dú)規(guī)則、輕松實(shí)踐上手。

馬中騏，浙江杭州（臨平）人，1940年3月生于上海市。曾就讀于蘭州大學(xué)，是中國(guó)科學(xué)院首屆研究生，獲001號(hào)博士學(xué)位證書。曾任中國(guó)科學(xué)院高能物理研究所四室研究員、博士生導(dǎo)師、高能物理研究所學(xué)術(shù)委員會(huì)委員和高能物理研究所學(xué)位委員會(huì)主任、高能物理學(xué)會(huì)會(huì)員。1991年被評(píng)為“做出突出貢獻(xiàn)的中國(guó)博士學(xué)位獲得者”。1992年10月起享受國(guó)務(wù)院政府特殊津貼。

長(zhǎng)期以來(lái)一直從事理論物理研究，重點(diǎn)在群論方法及其物理應(yīng)用方面進(jìn)行科學(xué)研究和教學(xué)工作，已發(fā)表研究論文200余篇。曾在規(guī)范場(chǎng)理論、大統(tǒng)一理論、磁單極理論、量子散射理論和Levinson定理、量子群理論及其在物理中的應(yīng)用、群論方法在量子理論中的應(yīng)用等方向開展科研工作。重要的科研成果有量子N體系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的分離、Levinson定理的證明與推廣、量子群的研究等。諾貝爾獎(jiǎng)獲得者楊振寧教授曾評(píng)價(jià)馬中騏的研究成果是能留得下來(lái)的工作。

馬中騏博士曾先后三次獲得中國(guó)科學(xué)院科技進(jìn)步二等獎(jiǎng)，獲得中國(guó)科學(xué)院一九九六年度教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)（群論教材），獲得2004~2005年度王淦昌獎(jiǎng)。

出版的圖書包括《群論及其在物理中的應(yīng)用》、《楊-巴克斯特方程和量子包絡(luò)代數(shù)》、《物理學(xué)中的群論》、《群論習(xí)題精解》、Yang-Baxter equation and quantum enveloping algebras等。

第 1 章 數(shù)獨(dú)及其運(yùn)算規(guī)則 ··········································1

第 2 章 數(shù)獨(dú)運(yùn)算規(guī)則應(yīng)用舉例 ·····································20

2.1 數(shù)獨(dú)題目 1 ··················································20

2.2 數(shù)獨(dú)題目 2 ··················································23

2.3 數(shù)獨(dú)題目 3 ··················································27

2.4 數(shù)獨(dú)題目 4 ··················································30

2.5 數(shù)獨(dú)題目 5 ··················································33

2.6 數(shù)獨(dú)題目 6 ··················································37

2.7 數(shù)獨(dú)題目 7 ··················································41

2.8 數(shù)獨(dú)題目 8 ··················································45

2.9 數(shù)獨(dú)題目 9 ··················································51

2.10 數(shù)獨(dú)題目 10 ················································55

第 3 章 格圈、格鏈及其應(yīng)用 ········································56

3.1 格圈和格鏈 ··················································56

3.2 廣義格鏈 ·····················································73

3.3 排除法 ·······················································89

第 4 章 數(shù)獨(dú)世界難題 ················································ 103

4.1 數(shù)獨(dú)難題 1 ·················································· 105

4.2 數(shù)獨(dú)難題 2 ·················································· 111

4.3 等價(jià)的數(shù)獨(dú)題目 ············································ 116

附錄一 移棋相間法 ··················································· 118

附錄二 天平秤球 ······················································ 121

附錄三 確定帽子顏色 ················································ 129

【前言】

數(shù)獨(dú)是一種邏輯推理類數(shù)字填充游戲. 雖然這種游戲和數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler, 1707—1783 年)研究過(guò)的拉丁方(Latin square) 有一定關(guān)系. 但它最早作為一種游戲形式出現(xiàn), 可以追溯到 20 世紀(jì) 70 年代. 當(dāng)時(shí)在美國(guó)紐約的一本益智雜志 Math Puz-zles and Logic Problems 上出現(xiàn)了一種稱為填數(shù)字 (number place) 的游戲. 1984 年一位日本學(xué)者把它傳到日本, 用日文漢字取名為 “數(shù)獨(dú)”(Su Doku). 1997 年中國(guó)香港高等法院的新西蘭籍法官高樂德 (Wayne Gould) 在《泰晤士報(bào)》(The Times) 上發(fā)表了這種游戲, 該游戲很快便風(fēng)靡英國(guó), 并由此傳遍全世界. 20 世紀(jì) 90 年代國(guó)內(nèi)部分益智類書籍開始刊登數(shù)獨(dú). 南海出版社在 2005 年出版了《數(shù)獨(dú) 1》和《數(shù)獨(dú) 2》,數(shù)獨(dú)由此在國(guó)內(nèi)廣泛傳播.

國(guó)際上, 由世界智力謎題聯(lián)合會(huì)組織的世界數(shù)獨(dú)錦標(biāo)賽 (World Sudoku Championship) 每年舉行一次, 首屆于 2006 年在意大利的盧卡 (Lucca) 舉行, 第八屆于 2013 年在北京舉行. 北京市數(shù)獨(dú)運(yùn)動(dòng)協(xié)會(huì)作為世界智力謎題聯(lián)合會(huì)的分支, 也每年組織一次中國(guó)數(shù)獨(dú)錦標(biāo)賽.比賽包括標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)和變形數(shù)獨(dú)兩類. 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)和變形數(shù)獨(dú)雖然規(guī)則不同, 但解法類似. 本書只研究標(biāo)準(zhǔn) (經(jīng)典) 數(shù)獨(dú), 以下稱數(shù)獨(dú).

因數(shù)字排列方式千變?nèi)f化, 數(shù)獨(dú)吸引了大量愛好者參與. 數(shù)獨(dú)有助于老年人加強(qiáng)思維活動(dòng), 防止智力退化, 也有助于兒童和年輕人訓(xùn)練邏輯推理和觀察分析的能力. 所有參加游戲的人都可以從游戲中獲得成就感和愉悅感. 本書附錄介紹了三個(gè)游戲, 既可以滿足愛好者玩數(shù)字游戲的需要, 也可以訓(xùn)練愛好者的邏輯推理能力.

隨著數(shù)獨(dú)的推廣, 人們總結(jié)了大量解題技巧, 總體而言都是根據(jù)已有數(shù)字, 按照數(shù)獨(dú)的基本規(guī)定, 通過(guò)推理和分析, 在空格中填充相應(yīng)的數(shù)字. 其中, 有的方法簡(jiǎn)單直觀, 但適用范圍有限? 有的方法有比較復(fù)雜的推理, 需要一定的記憶能力, 掌握起來(lái)有些困難.

本書試圖把已有的各種繁雜的數(shù)獨(dú)解題方法系統(tǒng)化, 通過(guò)理論物理學(xué)家的思維方式, 歸納成六條清晰易懂的運(yùn)算規(guī)則, 幫助讀者學(xué)會(huì)求解一般數(shù)獨(dú)題目的方法. 然后引入格圈和格鏈的概念, 導(dǎo)出本書獨(dú)創(chuàng)的數(shù)獨(dú)運(yùn)算技巧, 幫助讀者求解較難的數(shù)獨(dú)題目. 本書總結(jié)的這些方法都用適當(dāng)?shù)姆?hào)來(lái)標(biāo)記, 從而可以把求解數(shù)獨(dú)題目的過(guò)程像棋譜一樣記錄下來(lái), 大大簡(jiǎn)化了解釋的語(yǔ)言. 原則上說(shuō), 棋譜完全記錄了下棋的過(guò)程, 但大部分讀者在閱讀棋譜時(shí), 還是愿意在棋盤上移動(dòng)棋子以便于理解下棋的過(guò)程. 記住九宮圖的填數(shù)要比記住棋譜困難得多, 因此標(biāo)記方法的數(shù)獨(dú)符號(hào)還需要九宮圖的配合, 才能幫助愛好者真正理解數(shù)獨(dú)題目的求解過(guò)程.

國(guó)內(nèi)發(fā)行的有關(guān)數(shù)獨(dú)的圖書, 多數(shù)是數(shù)獨(dú)題集. 事實(shí)上, 在網(wǎng)絡(luò)高度發(fā)展的今天, 各類難易程度不一的題目都可以輕易地從網(wǎng)上找到. 本書推薦三個(gè)網(wǎng)站供讀者參考: ①https://sudoku.game/?②https://www.websudoku.com/?level=4? ③https://sudoku.com/evil/.

作為一本介紹數(shù)獨(dú)的書, 本書先介紹什么是數(shù)獨(dú), 然后逐條說(shuō)明求解數(shù)獨(dú)題目的運(yùn)算規(guī)則及其符號(hào), 并輔以例題. 第一章歸納了六條運(yùn)算規(guī)則. 第二章列舉了 10 道普通的數(shù)獨(dú)題目, 并介紹了運(yùn)用這六條運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行求解的詳細(xì)過(guò)程. 作者相信, 大部分讀者很容易掌握這六條運(yùn)算規(guī)則, 并能將其用于求解常見的數(shù)獨(dú)題目. 第三章引入格圈和格鏈的概念, 歸納了四條新的運(yùn)算規(guī)則. 通過(guò)一些例題解釋新運(yùn)算規(guī)則的符號(hào)及其使用方法, 幫助愛好者學(xué)會(huì)獨(dú)立地求解較難的數(shù)獨(dú)題目. 本書的解法強(qiáng)調(diào)從數(shù)獨(dú)題目的整體 (全圖) 出發(fā), 通過(guò)運(yùn)算規(guī)則和技巧, 簡(jiǎn)化各空格的允許填數(shù), 獲得數(shù)獨(dú)終盤 (答案), 這種方法稱為整體解法.

英國(guó)《每日郵報(bào)》(The Daily Mail) 2012 年 6 月 30 日的一篇報(bào)道介紹了芬蘭數(shù)學(xué)家因卡拉 (Arto Inkala) 花費(fèi) 3 個(gè)月設(shè)計(jì)出的聲稱是迄今世界上 “難度最大的數(shù)獨(dú)題”, 并把此題比作數(shù)獨(dú)題的 “珠穆朗瑪峰”. 此題只有一個(gè)答案. 因卡拉教授說(shuō)只有思考能力最快、頭腦最聰明的人才能破解這個(gè)游戲 (only the quickest and brightest minds would be able to solve it). 2007 年因卡拉教授還出版了一本專著 (AI Escargot ——The most difficult Sudoku puzzle) , 其中提出了另外一道也聲稱是世界上 “最難的數(shù)獨(dú)題”.

針對(duì)類似芬蘭數(shù)學(xué)家因卡拉教授設(shè)計(jì)的極少數(shù)數(shù)獨(dú)難題, 本書第四章采用分題的方法求解, 并以因卡拉教授設(shè)計(jì)的兩道 “數(shù)獨(dú)世界難題” 為例, 詳細(xì)介紹了分題求解的過(guò)程, 說(shuō)明只要學(xué)習(xí)和掌握了本書提出的這套解法, 不需要專門的訓(xùn)練, 任何人都可以獨(dú)立求解各類數(shù)獨(dú)題目, 甚至包括難度相當(dāng)大的題目. 作者無(wú)意引導(dǎo)讀者去鉆研數(shù)獨(dú)難題, 只是想說(shuō)明, 即使是人為設(shè)計(jì)的數(shù)獨(dú)難題, 只要充滿信心, 方法得當(dāng), 一般人也是可以求解的.

為了幫助讀者理解和領(lǐng)會(huì)本書的數(shù)獨(dú)運(yùn)算規(guī)則, 作者制作了一套數(shù)獨(dú)解法講課視頻, 全套共九集, 每集時(shí)長(zhǎng)約半小時(shí), 包括第一章一集、第二章兩集、第三章四集和第四章兩集. 掃描書后二維碼即可觀看視頻.

近日, 作者從網(wǎng)上查知電子科技大學(xué)出版社 2013 年出版的《輕松速解數(shù)獨(dú)——陳氏解法》一書, 作者陳金康先生在該書中介紹的解法在解因卡拉教授 2012 年設(shè)計(jì)的數(shù)獨(dú)世界難題時(shí)需要經(jīng)過(guò)多次復(fù)雜的猜測(cè)且篇幅較大. 本書所提出的數(shù)獨(dú)解法則能夠在一定程度上更加簡(jiǎn)單明了地表達(dá)數(shù)獨(dú)世界難題的解題過(guò)程.

感謝泰康之家所提供的優(yōu)越的工作環(huán)境, 以及與老年朋友的良好討論機(jī)會(huì). 感謝泰康之家居民潘愛蘭老師和新加坡世界科學(xué)出版社 (World Scientific) 編輯潘素起女士提供的因卡拉教授設(shè)計(jì)的兩道“數(shù)獨(dú)世界難題”, 以及一直給予的支持和鼓勵(lì). 感謝泰康之家居民黃惟崎老師、吳先敏老師、宋建云老師在數(shù)獨(dú)問題上的交流和討論. 感謝妹妹馬中芳老師提供的若干道數(shù)獨(dú)題目和有益的討論. 感謝妻子李現(xiàn)老師一直以來(lái)的全力支持和鼓勵(lì), 無(wú)微不至的關(guān)愛和對(duì)本書寫作過(guò)程的認(rèn)真討論及研究.

數(shù)獨(dú)為一種邏輯游戲，注重邏輯與推理。本書是數(shù)獨(dú)研究者、愛好者和初學(xué)者由淺入深學(xué)習(xí)數(shù)獨(dú)的數(shù)學(xué)普及讀物。作為介紹數(shù)獨(dú)的智力游戲的圖書，相比較于市面上其他以題庫(kù)為主的同類書籍，本書表現(xiàn)出較強(qiáng)的學(xué)術(shù)深度和研究?jī)r(jià)值，值得一讀！

第1章 數(shù)獨(dú)及其運(yùn)算規(guī)則

所謂數(shù)獨(dú), 就是在九宮圖中n個(gè)格子內(nèi)預(yù)先填入確定的數(shù), 稱為提示數(shù) (clue). 凡是填有確定數(shù)x的格子稱為定格x, 簡(jiǎn)稱定格. 凡是填數(shù)還沒有確定的格子, 統(tǒng)稱為空格.

一道合格 (proper) 的數(shù)獨(dú)題目, 在給出n個(gè)提示數(shù)后, 通過(guò)各種運(yùn)算規(guī)則的操作, 逐步減少數(shù)獨(dú)全圖中各空格的允許填數(shù), 把空格逐步變成定格, 最后一定可以找到唯一一個(gè)數(shù)獨(dú)終盤. 存在多于一個(gè)不相同數(shù)獨(dú)終盤的數(shù)獨(dú)題目是不合格的數(shù)獨(dú)題目. 如果在九宮圖同一單元中重復(fù)出現(xiàn)填數(shù)相同的定格, 或者一個(gè)空格的允許填數(shù)減少到零, 則說(shuō)明這個(gè)數(shù)獨(dú)題目出現(xiàn)矛盾, 這也是不合格的數(shù)獨(dú)題目. 實(shí)踐證明, 提示數(shù)n至少要有 17 個(gè). 至今還沒有發(fā)現(xiàn)一道提示數(shù)少于 17個(gè)的合格的數(shù)獨(dú)題目. 本書不討論如何找出合格的數(shù)獨(dú)題目, 而專門討論對(duì)于合格的數(shù)獨(dú)題目, 如何找到數(shù)獨(dú)終盤.

第4章 數(shù)獨(dú)世界難題

對(duì)于難題非常大的題目, 如本節(jié)介紹的所謂數(shù)獨(dú)世界難題, 則需要反復(fù)使用排除法. 此時(shí)只有把這些要排除的允許填數(shù)適當(dāng)編號(hào), 才能使計(jì)算有條理地進(jìn)行. 這就是本章要介紹的分題法.

附錄一 移棋相間法

楊振寧先生于 2019 年在《數(shù)學(xué)文化》上發(fā)表的文章《許寶騄和“移棋相間法”》介紹了 1940 年前后西南聯(lián)大物理系和數(shù)學(xué)系的師生們喜歡玩的一個(gè)中國(guó)古代游戲, 即移棋相間法. 楊先生稱其在《道德文章垂范人間: 紀(jì)念許寶騄先生百年誕辰》一書第 316 頁(yè)上看到一篇俞潤(rùn)民的文章, 文章說(shuō)許曾發(fā)現(xiàn)求解 “移棋相間法” 的 “合四為一之新律”, 楊先生猜想此新律就是自己在美國(guó)發(fā)現(xiàn)的 modulo4 方法. 于是重新研究此游戲, 得到全解, 并撰文發(fā)表.

看到楊先生的文章后, 作者曾和楊先生在網(wǎng)上討論該游戲, 并對(duì)其稍作推廣. 楊先生鼓勵(lì)作者撰文發(fā)表. 作者認(rèn)為在本書附錄介紹這個(gè)游戲較為適宜.